Webサーバの種類により挙動が異なりますが、再起動後に暗号化通信ができなくなるWebサーバもあります。また、一般的なブラウザでは「有効期限」に関する警告メッセージが表示されますが、ユーザー側で承認した場合には証明書が期限切れであっても、暗号化通信が可能です。Webサイトの信用に関わることですので、できるだけ早く更新手続きをおとりいただくことをお勧めします。